具有多个稳态解的Wasserstein梯度流和McKean-Vlasov方程的局部收敛速率

对数Sobolev不等式的非线性版本将自由能与其沿相应Wasserstein梯度流的耗散联系起来（即在此上下文中对应于Polyak-Lojasiewicz不等式），已知这些不等式提供了自由能最小化器的全局指数长时间收敛，并且已在各种背景下被证明成立。然而，当自由能存在非全局最小化器的临界点时，这些不等式无法成立，例如在低温下具有二次吸引相互作用的双阱势中的颗粒介质方程。本文处理此类情况，将对数Sobolev不等式仅局部成立的一般论证进行扩展，并以一维对称双阱情况或高维低温区域中具有二次相互作用的颗粒介质方程为例，建立了此类局部不等式。该方法为稳态解周围Wasserstein球内的初始条件提供了定量收敛速率。对梯度流的动力学对应物，即相应的Vlasov-Fokker-Planck方程，也进行了相同的分析。平均场方程（椭圆型和动力学型）对稳态解的局部指数收敛，被证明会导致相应粒子系统的自由能快速（即关于粒子数一致地）衰减到非线性极限的水平。