图分解的局部证明及其在免 Minor 图类中的应用

局部证明指为网络节点分配标签以证明满足某给定性质，且标签可在局部进行校验。近年来，图类的证明受到相当关注。其目标是证明图 $G$ 属于给定图类 $\mathcal{G}$。对于树、平面图以及嵌入曲面上的图，存在标签大小为 $O(\log n)$（其中 $n$ 为网络规模）的此类证明。Feuilloley 等人提出，这是否可推广到由有限个禁用 minor 定义的任意图类。本文中，我们开发了用于图证明的新分解工具，并应用它们证明：对于每一个足够小的 minor $H$，免 $H$-minor 图确实可用大小为 $O(\log n)$ 的标签证明。我们还通过一种简单的新证明技术给出了匹配的下界。