连续变量系统中的刘维尔例外点

我们得到了处于一般环境中的振子的量子马尔可夫主方程的刘维尔例外点。它们出现在振子的修正频率消失之处，此时刘维尔算符的本征值变为实数。在一般系统中，有两个参数会改变振子的固有频率。其中一个参数可以是阻尼率。此时例外点对应于振子的临界阻尼。这种情况由 Caldeira–Leggett (CL) 方程和 Hu–Paz–Zhang (HPZ) 方程的马尔可夫极限加以说明。另一个参数改变振子的有效质量，从而在极重振子的极限下达到例外点。这种情况由一种修正形式的 Kossakowski–Lindblad (KL) 方程说明。本征函数在例外点合并并分裂为以自然数 $N$ 标记的子空间。在每个 $N$ 子空间中，存在 $(N+1)$ 重简并，且刘维尔算符具有阶数为 $(N+1)$ 的若尔当块结构。我们得到了若干刘维尔算符的广义本征矢的显式形式。由于简并，广义本征函数存在选择自由。这一自由表现为在相似变换下若尔当块结构的不变性，我们给出了该相似变换的形式。我们利用 CL 方程的广义本征矢，比较了振子第一激发态在欠阻尼区、对应于例外点的临界阻尼区以及过阻尼区中的弛豫过程。