非线性波动力学中的线性叠加

我们研究由 R^{d} 中双曲 PDE 与格点 Z^{d} 上差分方程描述的非线性色散波系统。系统涉及两个小参数:其一为慢时间尺度与快时间尺度之比,另一为小空间尺度与大空间尺度之比。我们证明一大类此类系统,包括非线性 Schrodinger 与 Maxwell 方程、Fermi-Pasta-Ulam 模型及许多其他非完全可积系统,满足叠加原理。该原理实质指出:若波的 nonlinear evolution 初始时为若干泛型波包(定义为几乎单色波)之和,则该波在高精度下始终保持为若干经历独立非线性演化的分离波包波之和。所考虑的演化时间区间足够长,以观测相关波包充分发展的非线性现象。特别地,我们的方法为数值观察到的孤子彼此穿过而几乎不相互作用的现象提供了一个简单论证,而无需借助完全可积性。我们的分析不依赖于任何关于两个小参数的 ansatz 或通常渐近展开,而是使用解作为初值函数的显式构造性表示,以泛函分析级数的形式给出。