虚拟阿廷群的线性表示、晶体商与扭曲共轭

虚拟阿廷群由Bellingeri、Paris和Thiel最近引入，作为著名的虚拟辫群的广泛推广。对于每个Coxeter图$\Gamma$，他们定义了虚拟阿廷群$VA[\Gamma]$，该群由相应的阿廷群$A[\Gamma]$和Coxeter群$W[\Gamma]$生成，并受到由$W[\Gamma]$在其根系$\Phi[\Gamma]$上的作用所启发的某些混合关系约束。存在一个自然的满射$\mathrm{VA}[\Gamma] \rightarrow W[\Gamma]$，其核$PVA[\Gamma]$表示纯虚拟阿廷群。在本文中，我们探讨了虚拟阿廷群的线性表示、晶体商和扭曲共轭。受Cohen、Wales和Krammer工作的启发，我们构造了虚拟阿廷群$VA[\Gamma]$的一个线性表示。作为该表示的一个推论，我们推导出：如果$W[\Gamma]$是一个球面Coxeter群，则$VA[\Gamma]/PVA[\Gamma]'$是一个维数为$|\Phi[\Gamma]|$、完整群为$W[\Gamma]$的晶体群。我们还对$VA[\Gamma]/PVA[\Gamma]'$中的挠元进行了分类，并精确确定了该群中两个元素何时共轭。此外，我们研究了扭曲共轭，并证明了每个右角虚拟阿廷群都具有$R_\infty$性质。