Hilbert 丛的线性正交保持映射

鉴于 Hilbert 空间的相应事实，自然要问：Hilbert $C^*$-模的线性性和正交性结构是否决定了其 $C^*$-代数值内积。我们在 $C^*$-代数是交换的情况下（等价地，考虑局部紧 Hausdorff 空间上的 Hilbert 丛）验证了这一点。更精确地说，两个 Hilbert $C^*$-模之间的 $\mathbb{C}$-线性映射 $\theta$（不假定有界）被称为“正交保持”的，如果每当 $\left<x,y\right> =0$ 时就有 $\left<\theta(x),\theta(y)\right> =0$。我们证明，如果 $\theta$ 是从一个满的 Hilbert $C_0(\Omega)$-模 $E$ 到另一个 Hilbert $C_0(\Omega)$-模 $F$ 的正交保持映射，且满足一种较弱的 $C_0(\Omega)$-线性概念（称为“局部性”），那么 $\theta$ 是有界的，并且存在 $\phi\in C_b(\Omega)_+$ 使得 $$\left<\theta(x),\theta(y)\right>\ =\ \phi\cdot\left<x,y\right>, \quad \forall x,y \in E.$$ 另一方面，如果 $F$ 是另一个交换 $C^*$-代数 $C_0(\Delta)$ 上的满 Hilbert $C^*$-模，我们证明一个具有某种“局部型性质”的“双正交保持”双射映射 $\theta$ 将是有界的，并且满足 $$\left<\theta(x),\theta(y)\right>\ =\ \phi\cdot\left<x,y\right>\circ\sigma, \quad \forall x,y \in E$$ 其中 $\phi\in C_b(\Omega)_+$ 且 $\sigma: \Delta \rightarrow \Omega$ 是一个同胚。