Brans-Dicke 理论场方程的线性无关性

在求解 Brans-Dicke（BD）方程时，其线性无关性至关重要。这源于在 BD 理论中求解这些方程进行宇宙学建模时，如果未知数量等于独立方程数量，则可唯一确定未知量。在 BD 理论中，张量场 $g_{\mu \nu}$ 和 BD 标量场 $\varphi$ 并非两个独立的场，而是相互耦合的。这一原因源于 V. B. Johri 和 D. Kalyani 提出的一条结论，即宇宙尺度因子 $a$ 和 BD 标量场 $\varphi$ 之间存在幂律关系。因此，在使用最小作用量原理导出 BD 方程时，变分 $\delta g^{\mu \nu}$ 和 $\delta \varphi$ 不应被视为两个独立的动力学变量。于是，对 $\delta g^{\mu \nu}$ 和 $\delta \varphi$ 存在约束，导致独立 BD 方程数量减少一个单位，使得已知的 BD 方程中其中一个方程是冗余的。本文证明了这一现象，即我们证明其中一个方程（我们选择修正的 Klein-Gordon 方程）并非独立方程，而是由其他 BD 方程、物料能动量守恒定律和 Bianchi 同一式所建立的结果。因此，我们不应将修正的 Klein-Gordon 方程视为 BD 理论中的独立场方程，而应将其包含在其他 BD 方程中，单独列为方程即可。