线状临界拐点 Revisited：$J^{-1}\propto \sqrt{\delta^{-1}}$ 中的 $\delta$ 指的是什么距离？

线状临界拐点现象自 Chang 和 Refsdal (1979) 提出近临界曲线附近图像放大率与距离平方根之反比的依赖关系（在受更大质量引力产生恒定剪切作用的单点质量系统中）后，已有二十五年。Gauchi 和 Petters (2001) 解读称距离为“到临界曲线的垂直距离”，但这一解释存在误解。我们重新梳理了 Rhie 和 Bennett (1999) 的工作，该工作推导了二元镜系统中临界拐点的行为，以研究 limb darkening 测量在临界拐点穿越微透镜事件中的可行性。~({\it 1}) $J = \pm \sqrt{4\delta\omega_{2-} J_-}$，其中 $\delta\omega\parallel\bar\partial J$，且 $\delta\omega_{2-}$ 和 $J_-$ 分别是 $\delta\omega$（源点相对于临界曲线的位移）和 $2\bar\partial J$（Jacobi 行列式梯度）的 $E_-$ 分量；~({\it 2}) 临界特征向量 $\pm E_-$ 与临界曲线垂直，且可从解析的 $\kappa$ 场中轻松确定；~({\it 3}) 在临界点处（$J_- = 0$）行为为三阶，$\bar\partial J$ 相对于临界曲线的方向因临界点是累积点而变化迅速；~({\it 4}) 在行星临界点上，$|\partial J|\sim \sqrt{1/\epsilon_{pl}}$ 较大，幂级数展开在透镜星的尺度上可能不收敛。实际中必须采用直接数值求和。我们还指出，常数剪切的镜方程本质上是不完整的，若要成为可行的镜面系统模型，还需补充物理假设和解释。