二元序列自相关劣值因子的极限矩

工程和自然科学中的各类问题需要不类似于自身平移的二元序列，即序列必须在每个非零移位处具有小的非周期自相关。若 $f$ 是一个序列，则 $f$ 的劣值因子是将 $f$ 归一化至单位欧几里得范数后所得序列在所有非零移位处自相关平方幅值之和。劣值因子是 Golay 优值因子的倒数，低劣值因子表明序列在平移下自相似性低。我们赋予长度为 $\ell$ 的 $2^\ell$ 个二元序列以均匀概率测度，并考虑其劣值因子的分布。早期工作使用组合技术找到了该分布均值、方差、偏度和峰度的精确公式（作为 $\ell$ 的函数）。这些揭示出对于 $\ell \geq 4$，该分布的第 $p$ 阶中心矩对每个 $p \geq 2$ 都严格为正。本文证明对每个 $p$，第 $p$ 阶中心矩是 $\ell^{-2 p}$ 乘以一个具有有理系数的 $\ell$ 的拟多项式函数。还证明当 $\ell$ 趋于无穷时，第 $p$ 阶标准化矩与标准正态分布的相应矩相同。