再论极限复杂度 [再次]

本文的主要目标是将一些已知结果置于统一的视角下并简化其证明。我们首先给出 Vereshchagin 结果的一个简单证明，即 $\limsup_n C(x|n)$ 等于 $C^{0'}(x)$。随后利用相同的论证证明了关于前缀复杂度、二叉树上的先验概率的类似结果，证明了关于有效开集极限的 Conidis 定理，并改进了 Muchnik 关于极限频率的结果。作为副产品，我们得到了 Miller 证明的 2-随机性判据：序列 $X$ 是 2-随机的，当且仅当存在常数 $c$，使得 $X$ 的任意前缀 $x$ 都是某个字符串 $y$ 的前缀，且满足 $C(y)\ge |y|-c$。（在 20 世纪 60 年代，Kolmogorov 曾提出将此性质作为随机性的可能定义之一。）我们还得到了 Miller 和 Nies 提出的另一个 2-随机性判据：$X$ 是 2-随机的，当且仅当对于某个常数 $c$ 和 $X$ 的无穷多个前缀 $x$，满足 $C(x)\ge |x|-c$。这是我们旧论文的修改版本，旧版包含 Conidis 结果的一个较弱（且繁琐）的版本，且证明以相当奇怪的方式使用了低基定理。完整版在那里被表述为一个猜想，该猜想后来由 Conidis 证明。Bruno Bauwens（私人交流）指出，通过对我们原始论证进行简单修改也可获得该证明，我们经其允许复现了 Bauwens 的论证。