对称群标准表示的提升像

我们研究满足模 2 像与 $S_{2g+1}$ 在标准表示下的像 $\mathfrak{S}_{2g+1} \subseteq \mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{F}_2)$ 或 $S_{2g+2}$ 的像 $\mathfrak{S}_{2g+2} \subseteq \mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{F}_2)$ 重合的闭子群 $G \subseteq \mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}_2)$。我们证明当 $g \geq 2$ 时，满射到 $\mathfrak{S}_{2g+2}$ 的唯一的闭子群 $G \subseteq \mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}_2)$ 是其在 $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}_2)$ 中的完全逆像，而所有满射到 $\mathfrak{S}_{2g+1}$ 的子群 $G \subseteq \mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}_2)$ 都是开子群且包含 $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}_2)$ 的 8 级主同余子群。作为一个直接应用，我们得以加强 Zarhin 关于超椭圆曲线关联的 2 进 Galois 表示的一个结果。我们还证明了一个关于具有满 Galois 群的偶次多项式的初等推论。