将闭曲线提升至自由群的有限覆盖

在本文中，我们证明：对于任意整数 $l\geq 2$， bouquet of $n$-个圆 $\Gamma$ 上的任意闭曲线 $\gamma$，都可以提升至 $\Gamma$ 的有限 $l$-重正则覆盖。等价地，将 $n$ 个生成元的自由群 $F_n$ 与 $\Gamma$ 的基本群等同，该命题断言：对于任意 $l\geq 2$，$F_n$ 是 $l$-指数正规子群的并集。证明通过显式构造 $\Gamma$ 的 $l$-重正则覆盖族来完成，同时给出了闭曲线 $\gamma$ 在 $\Gamma$ 上提升至这些覆盖的充要条件刻画。