同伦自同构幺半群与分类纤维丛的Lie模型

给定$X$为一个有限幂零单纯集，考虑分类纤维丛 $$X\to Baut_G^*(X)\to Baut_G(X),\qquad X\to Z\to Baut_{\pi}^*(X),$$ 其中$G$与$\pi$分别表示$X$的自由与带点自同伦等价类的自由与带点同伦类中在其$H_*(X)$与$\pi_*(X)$上幂零作用的子群。我们给出这些纤维丛有理同伦类型的代数模型，用完备微分分次Lie代数（cdgl's）表示。具体而言，若$L$是$X$的cdgl模型，则在$L$的导子Lie代数$Der L$中存在连通子cdgl's $Der^G L$与$Der^{\pi} L$，使得cdgl态射序列 $$L\stackrel{ad}{\to} Der^G L\to Der^G L\widetilde\times sL,\qquad L\to L\widetilde\times Der^{\pi} L\to Der^{\pi} L$$ 的几何实现具有上述分类纤维丛的有理同伦类型。作为推论之一，我们还在cdgl术语下描述了$G$与$\pi$的Malcev $Q$-完备化以及分类空间$BG$与$B\pi$的有理同伦类型。