一类非线性 (1+2) 维边值问题的 Lie 对称与条件对称

提出了一种针对涉及广泛边界条件（包括作为特例的初值问题）的边值问题的条件不变性新定义。证明了为寻找具有标准边界条件的边值问题的 Lie 对称而提出的其他定义，均可作为本定义的特例导出。展示了直接应用于应用中出现的非线性问题的简单示例。此外，成功将该定义应用于半无限域中由非线性扩散方程支配的一类 (1+2) 维非线性边值问题的 Lie 对称与条件对称分类。特别地，证明了对于幂律扩散系数 $u^k$，当所讨论的问题在边界上具有非零通量时，存在一个特殊指数 $k=-2$，使得该问题相较于 $k\not=-2$ 的情形 admits 额外的 Lie 对称算子。为了展示所导出对称性的适用性，利用它们将具有幂律扩散系数 $u^k$ 且边界上具有恒定非零通量的非线性问题（此类问题在应用中很常见并描述了大量现象）降维为 (1+1) 维问题。简要分析了所得问题的结构与性质。最后，展示了一些结果，说明了所讨论边值问题的 Lie 不变性如何依赖于区域的几何形状。