Lempel-Ziv：“一位灾难”但非悲剧

所谓压缩算法 LZ'78 的“一位灾难”问题是询问：在一个无限词前方添加单个位是否会改变其压缩比。我们正面回答了 Lutz 等人提出的这一开放问题：我们证明存在一个无限词 $w$，使得 $\rho_{sup}(w)=0$ 但 $\rho_{inf}(0w)>0$，其中 $\rho_{sup}$ 和 $\rho_{inf}$ 分别是前缀压缩比 $\rho$ 的上极限和下极限。为此，我们探讨了 LZ'78 在有限词上的行为，并展示了以下结果：- 存在常数 $C>0$，使得对于任何有限词 $w$ 和任何字母 $a$，有 $\rho(aw)\leq C\sqrt{\rho(w)\log|w|}$。因此，充分可压缩的词（$\rho(w)=o(1/\log|w|)$）在前方添加一个字母后仍可压缩；- 对于任何压缩比 $\rho(w)=O(1/\log|w|)$，上述结果在乘性常数意义下是紧的。特别地，存在无限多个满足 $\rho(w)=O(1/\log|w|)$ 但 $\rho(0w)=\Omega(1)$ 的词 $w$。