规范理论与多体系统讲义

本讲义研究了规范理论与可积多体系统之间的两种对应关系。第一种源于无穷维哈密顿约化，将规范理论动力学直接与 Calogero--Moser 型系统及其量子对应联系起来。第二种通过瞬子计数和非微扰对偶性出现在超对称规范理论中，将一侧的经典问题与另一侧的量子问题联系起来。核心动机来自于这样一个观察：规范理论中全纯的共轭类可以解释为圆上不可分辨粒子的位形。在量子理论中，这些粒子位置成为随机变量，且该对应关系可能是精确的或近似的，这取决于时空维度和超对称性。我们重点关注与 A 型根系统以及一至六维 SU(N) 规范理论相关的 Calogero--Moser--Sutherland 族。在低维情形下，该对应关系是直接的，涉及矩阵量子力学、二维 Yang--Mills 理论以及高维 Chern--Simons 型理论。在具有八个超荷的四维、五维和六维情形下，该对应关系通过超对称规范理论和 Omega 形变采取了更为间接的形式。我们引入了其关联函数满足非微扰 Dyson--Schwinger 方程的非定域可观测量，并在四维情形下导出了多体系统的薛定谔方程。讲义据此分为两部分：第一部分发展了 Calogero--Moser 系统的辛约化构造，而第二部分研究了超对称规范理论中的定域化、配分测度以及有序/无序可观测量。