基于量子agnostic提升学习深度3电路

我们着手研究关于函数类 $\mathsf{C}\subseteq \{c:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}\}$的相位状态的量子agnostic学习：给定未知的 $n$ 比特态 $|\psi\rangle$ 其与相位态 $|\phi_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x\in \{0,1\}^n}(-1)^{c(x)}|x\rangle$ 具有忠诚度 $\textsf{opt}$ 的某个 $c\in \mathsf{C}$，输出 $|\phi\rangle$ 使得 $|\langle \phi | \psi \rangle|^2 \geq \textsf{opt}-\varepsilon$。为此，我们给出以下类的agnostic学习协议：(i) 大小为 $t$ 的 decision tree，用时间 $\textsf{poly}(n,t,1/\varepsilon)$；这也意味着 $k$-juntas 可在时间 $\textsf{poly}(n,2^k,1/\varepsilon)$ 中被agnostically学习。(ii) 在时间 $\textsf{poly}(n,(s/\varepsilon)^{\log \log (s/\varepsilon) \cdot \log(1/\varepsilon)})$ 中的 $s$ 项 DNF 公式。我们的主要技术贡献是一种量子agnostic提升协议，将一个weak agnostic learner（输出满足 $|\langle \phi|\psi\rangle|^2\geq \textsf{opt}/\textsf{poly}(n)$ 的parity态 $|\phi\rangle$）转化为一个strong learner（输出一组parity态的叠加态 $|\phi'\rangle$，使得 $|\langle \phi'|\psi\rangle|^2\geq \textsf{opt} - \varepsilon$）。使用量子agnostic提升，我们获得了一个 $n^{O(\log(n/\varepsilon) \cdot \log \log n)}$-时间算法，用于在 uniform $\textsf{PAC}$ 模型下给定量子 examples 对 $\textsf{poly}(n)$-大小深度-$3$ 电路进行 $\varepsilon$-学习（由 $\textsf{AND}$, $\textsf{OR}$, $\textsf{NOT}$ 门组成）。在经典模型中，获得类似复杂度的算法一直是一个开放问题，在 $\textsf{PAC}$ 模型中，我们的工作给出了答案。