学习量子态纠缠体结构

我们考虑学习任意 n 比特量子态 $|\psi\rangle$ 的结构化纠缠体分解的任务: 对于 $\epsilon > 0$, 输出一个纠缠体秩为 $\textsf{poly}(1/\epsilon)$ 的态 $|\phi\rangle$，使得 $|\psi\rangle=|\phi\rangle+|\phi'\rangle$，其中 $|\phi'\rangle$ 的纠缠体保真度 $< \epsilon$。我们首先证明了存在这样的分解，这基于最近确立的 Gowers-$3$ 范数态的逆定理 [AD, STOC'25]。为了学习这种结构，我们发起了对态 $|\psi\rangle$ 相对于一类态 $S$ 的自我纠正任务: 给定 $|\psi\rangle$ 的若干拷贝，该态与 $S$ 中的某个态保真度 $\geq \tau$，输出 $|\phi\rangle \in S$，使得保真度 $|\<phi\rangle|^2 \geq \tau^C$，其中 $C>1$ 为常数。假设满足高倍增 regime 下的算法多项式 Frieman-Rusza (APFR) 猜想（其组合版本近期已解决 [GGMT, Annals of Math.'25]），我们给出一种自我纠正纠缠体态的多项式时间算法。给定态准备算子 $U_\psi$ 及其受控版本 $cU_\psi$，我们给出一种学习 $|\psi\rangle$ 结构化分解的多项式时间协议。若不假设 APFR，我们给出一种准多项式时间协议完成相同任务。作为我们的主要应用，我们给出学习保守纠缠体 extent 为 $\xi$ 的态 $|\psi\rangle$ 的学习算法，给定 $U_\psi$ 和 $cU_\psi$。我们给出一种输出 $|\phi\rangle$ 接近 $|\psi\rangle$ 的协议，运行时间为 $\textsf{poly}(n, \xi^{\log \xi})$，若假设 APFR 可改进为多项式时间。这给出了一个无条件的纠缠体秩为 $k$ 的态的学习算法，运行时间为 $\textsf{poly}(n, k^{k^2})$。据我们所知，学习纠缠体秩为 $2$ 的任意态的任务以前是未知的。