可处理性前沿的 $\Phi$-均衡学习与计算

$\Phi$-均衡——以及相关的 $\Phi$-遗憾概念——是在线学习和博弈论中强大而灵活的框架，通过丰富偏差集 $\Phi$ 来获得更强的理性概念。最近，Daskalakis、Farina、Fishelson、Pipis 和 Schneider（STOC '24）——缩写为 DFFPS——在 $\Phi$ 仅包含线性映射且在一般 $d$ 维凸约束集 $\mathcal{X}$ 下，确立了高效算法的存在性。本文中，我们通过解决 $\Phi$ 为 $k$ 维的情况显著扩展了他们的工作，其中 $\ell$ 次多项式构成一个典范例子，$k = d^{O(\ell)}$。特别地，在仅能访问 $\mathcal{X}$ 的预言机条件下，我们获得了两个主要正面结果：(i) 一个 $\text{poly}(n, d, k, \text{log}(1/\epsilon))$-时间算法，用于在 $n$ 玩家多线性博弈中计算 $\epsilon$-近似 $\Phi$-均衡，以及 (ii) 一个高效的在线算法，使用 $\text{poly}(d, k)/\epsilon^2$ 轮迭代实现平均 $\Phi$-遗憾不超过 $\epsilon$。我们还展示了在线学习设置中近乎匹配的下界，从而首次获得了一类能够捕捉 $\Phi$-遗憾可学习性的偏差。从技术角度，我们将 DFFPS 的框架从线性映射扩展到更具挑战性的多项式维映射情况。我们的方法核心是基于 Papadimitriou 和 Roughgarden（JACM '08）的椭球与希望（EAH）算法来计算任意 $\phi : \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ 的期望不动点的多项式时间算法。特别地，我们计算 $\Phi$-均衡的算法基于以嵌套方式执行 EAH——EAH 的每一步本身通过调用单独的 EAH 来实现。