全交换后悔与离散校准

我们研究最小化结构正式游戏中交换后悔的问题。在该问题中，玩家拥有大量（可能无限）的纯操作选择，但每个操作都嵌入$d$维空间且收益由这些嵌入的双线性函数给出。我们提供一种高效学习算法，可在$U(T^{(d+1)/(d+3)})$的交换后悔下完成$T$轮。为此，我们提出一种称为\emph{全交换后悔最小化}的新型在线学习问题。在该问题中，学习者反复采取（随机化）操作于有界凸$d$维操作集$\mathcal{K}$中，然后由对手接收损失，其目标是最小化关于映射$\mathcal{K}$到$\mathcal{K}$的\emph{最差情况}交换函数的后悔。对于关于损失函数凸性和光滑性的各种假设，我们设计算法，其全交换后悔界范围从$O(T^{d/(d+2)})$到$O(T^{(d+1)/(d+2)})$。最后，我们将这些工具应用于在线预测问题，以最小化校准误差，表明若干校准概念可视为全交换后悔的特定实例。特别是，我们设计了高效算法，保证$\ell_2$-校准误差最多为$O(T^{1/3})$，且\emph{离散校准}误差最多为$O(\max(\sqrt{\epsilon T}, T^{1/3}))$（当预测者限制为预测$\epsilon$的整数倍时）。