Proximal Regret 与 Proximal Correlated Equilibria：面向在线学习与博弈的新可计算解概念

学习与计算博弈论中的均衡是核心问题。本文引入 proximal regret（近似后悔），这是一种基于近端算子（proximal operators）的新型后悔度概念，严格落在外部后悔（external regret）与置换后悔（swap regret）之间。当所有玩家都使用 no-proximal-regret 算法时，经验分布将收敛到 proximal correlated equilibria（近似相关均衡，PCE），这是粗相关均衡（coarse correlated equilibria）的细化。我们的框架统一了若干新兴的在线学习与博弈论概念——如梯度均衡（gradient equilibrium）与半粗相关均衡（semicoarse correlated equilibrium）——并引入了新的概念。我们的主要结果表明，经典的在线梯度下降（Online Gradient Descent，GD）算法可实现对 proximal regret 的最优 $O(\sqrt{T})$ 界限，揭示了 GD 在不作任何修改的情况下，最小化的是比外部后悔更强的后悔度。这为梯度下降在在线学习与博弈中经验上优异性能的新解释。我们进一步将分析推广到以 Bregman 量为基础的镜像梯度下降（Mirror Descent）以及乐观梯度下降（Optimistic Gradient Descent），后者在光滑凸博弈中实现更快收敛。