通过欧拉-拉格朗日残差最小化学习偏微分方程的拉格朗日模型

我们提出了首个直接使用已学习连续拉格朗日函数来预测由偏微分方程 governing 系统动力学的方法，利用其固有的保守结构实现稳定的长期预测。我们开发了一种基于优化的积分器，通过网格无关的近惯性构造在局部时空块上最小化平方欧拉-拉格朗日残差。与分析模型的积分器不同，针对已学习模型的积分器应将模型误差（相位误差）与积分误差（守恒误差）解耦。通过依赖优化而非时间步进，我们绕过了固定离散化固有的全局耦合，这种耦合会减慢时间和空间步进并增加学习复杂度。我们的方法通过 Jacobi 迭代实现了与域大小线性相关的扩展，不对所学习网络施加结构性要求，允许其与现有的 physics-guided 机器学习方法相耦合。我们在学习表示的双摆、一维波方程和二维波方程上进行了验证。我们的方法在保持与经典惯性方法相当的误差的同时，能够在无需重新训练的情况下推广到空间变动动力学和任意边界条件。