从数据学习变分偏微分方程的离散模型
数值分析
2024-01-10 v2 数值分析
摘要
我们展示了如何从甲时 lattice 上场的观测数据学习离散场论。为此，我们训练一个离散拉格朗日密度的神经网络模型，使得离散 Euler–Lagrange 方程与给定训练数据一致。从而我们获得了一种保结构的机器学习架构。拉格朗日密度并非由场论的解唯一确定。我们引入一种技术来推导训练过程的正则化子，其优化离散场论的数值正则性。正则化子的最小化保证了在训练数据附近，离散场论用于数值模拟时表现稳健且高效。进一步，我们展示了如何识别底层连续场论的结构简单解，如行波。即便训练数据中不存在行波，这也是可能的。这与基于数据驱动模型降阶的方法形成对比，后者在训练数据中不存在此类解时难以识别包含结构简单解的合适潜空间。相关思想在基于波动方程与 Schr"odinger 方程的例子上进行了演示。
引用
@article{arxiv.2308.05082,
title = {Learning of discrete models of variational PDEs from data},
author = {Christian Offen and Sina Ober-Blöbaum},
journal= {arXiv preprint arXiv:2308.05082},
year = {2024}
}