格路与 $\mathbb Z^2$ 的子幺半群

我们研究由二维整数格点上的行走所产生的一些组合与代数结构。对给定的步集 $X\subseteq\mathbb Z^2$，有两个自然相关的幺半群：$\mathscr F_X$，即所有 $X$-行走/路径的幺半群；以及 $\mathscr A_X$，即所有从原点 $O$ 出发的 $X$-行走的终点的幺半群。对每个 $A\in\mathscr A_X$，记 $\pi_X(A)$ 为从 $O$ 到 $A$ 的 $X$-行走的个数。计算数 $\pi_X(A)$ 是一个经典问题，导出了 Fibonacci 数、Catalan 数、Motzkin 数、Delannoy 数和 Schroder 数，以及许多其他被充分研究的序列与数组。我们的主要结果给出了数 $\pi_X(A)$ 的有限性性质、步集 $X$ 的几何性质、幺半群 $\mathscr A_X$ 的代数性质，以及一个自然与 $X$ 相关联的某种双标记有向图的组合性质之间的关系。有限步集与无限步集的情形之间存在引人入胜的分歧，某些构造依赖于实数的高度非平凡性质。我们还考虑了被限制在平面给定区域内行走的情形。文中通篇考虑了若干例子，以凸显理论结果有时微妙的本质。