\mathbb{C}^n 上量级为 \nu 的 Landau (\Gamma,\chi)-自守函数

我们研究不变 Landau 哈密顿算子 $\La^\nu$ 的谱理论，该算子作用于 $\C^n$ 上的 $(\Gamma,\chi)$-自守函数空间 ${\mathcal{F}}^\nu_{\Gamma,\chi}$，其中给定实数 $\nu>0$，$\C^n$ 的格 $\Gamma$，以及映射 $\chi:\Gamma\to U(1)$，且三元组 $(\nu,\Gamma,\chi)$ 满足 Riemann-Dirac 量子化型条件。更确切地说，我们证明特征空间 {\mathcal{E}}^\nu_{\Gamma,\chi}(\lambda)=\set{f\in {\mathcal{F}}^\nu_{\Gamma,\chi}; \La^\nu f = \nu(2\lambda+n) f}（$\lambda\in\C$）非平凡当且仅当 $\lambda=l=0,1,2, ...$。在此情况下，${\mathcal{E}}^\nu_{\Gamma,\chi}(l)$ 是一个有限维向量空间，其维数已明确给出。我们还证明，与 $\La^\nu$ 的最低 Landau 能级相关联的特征空间 ${\mathcal{E}}^\nu_{\Gamma,\chi}(0)$ 同构于空间 ${\mathcal{O}}^\nu_{\Gamma,\chi}(\C^n)$，即满足 $$g(z+\gamma) = \chi(\gamma) e^{\frac \nu 2 |\gamma|^2+\nu\scal{z,\gamma}}g(z), \eqno{(*)}$$ 的 $\C^n$ 上的全纯函数空间；该空间也可实现为微分算子 $\sum\limits_{j=1}\limits^n(\frac{-\partial^2}{\partial z_j\partial \bar z_j} + \nu \bar z_j \frac{\partial}{\partial \bar z_j})$ 的零空间，该算子作用于满足 $(*)$ 的 $\C^n$ 上的 $\mathcal C^\infty$ 函数。