加性 Lévy 过程的调和分析

设 $X_1,...,X_N$ 为 $N$ 个独立的 $d$ 维 L\'evy 过程，考虑 $N$ 参数随机场 $$\X(\bm{t}):= X_1(t_1)+...+X_N(t_N).$$ 首先我们证明，对于所有非随机 Borel 集 $F\subseteq\R^d$，$\X$ 的值域 $\X(\R^N_+)$ 与 $F$ 的 Minkowski 和 $\X(\R^N_+)\oplus F$ 具有正 $d$ 维 Lebesgue 测度，当且仅当 $F$ 的某个容量为正。这一结果通过移除先前与 Yuquan Zhong 合作成果 \ycite{KXZ:03} 中的某种对称性条件而得到了改进。此外，我们表明在温和的正则性条件下，我们的充要条件可以用单点势密度重新表述。这依赖于发展经典 [非概率] 调和分析中的结果，这些结果可能具有独立的兴趣。正如 \fullocite{KXZ:03} 所示，此处研究的势论在 L\'evy 过程理论中有大量推论。我们在此提出一些新的推论。