闭微分形式的 $L^{\infty}$ 截断

在本文中，我们证明对于每个闭微分形式 $u \in L^1(\mathbb{R}^N,(\mathbb{R}^N)^{\ast} \wedge ... \wedge (\mathbb{R}^N)^{\ast})$，若其在如下意义下几乎属于 $L^{\infty}$：对某个 $L>0$ 和小的 $\varepsilon >0$ 有 $$\int_{\{y \in \mathbb{R}^N \colon \vert u(y) \vert \geq L \}} \vert u(y) \vert dy < \varepsilon$$，则可找到一个闭微分形式 $v$，使得 $\Vert u - v \Vert_{L^1}$ 同样很小，且 $v$ 还属于 $L^{\infty}$，其 $L^{\infty}$ 范数界仅依赖于 $N$ 和 $L$。特别地，集合 $\{ v \neq u\}$ 的测度至多为 $C \varepsilon$。随后我们考察该定理的应用。我们能够证明集合的 $\mathcal{A}$-$p$-拟凸包不依赖于 $p$。此外，我们可以证明一个 $\mathcal{A}$-$\infty$-Young 测度的分类定理。