Kozai Lidov 循环 = 简单摆动

我们展示了四阶近似下的 Kozai 机制——即描述层级三体问题的机制——等价于简单摆动，其中偏心率平方的变化等于摆棒相对于最低点的高度：$e_{\text{max}}^2-e^2=h=l\left(1-\cos{\theta}\right)$。特别地，这导致了关于 KLC 周期、最大偏心率和最小偏心率的有用表达式。我们使用向量坐标 $\boldsymbol{\alpha}=\textbf{j}+\textbf{e}, \boldsymbol{\beta}=\textbf{j}-\textbf{e}$ 推导了等价性，其中 $\textbf{j}$ 是归一化的特定角动量，$\textbf{e}$ 是偏心率向量。对于 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 的运动方程化简为 $\dot{\boldsymbol{\alpha}}=2\partial_{\boldsymbol{\alpha}} \phi \times \boldsymbol{\alpha}$ 和 $\dot{\boldsymbol{\beta}}=2\partial_{\boldsymbol{\beta}} \phi \times \boldsymbol{\beta}$，其中 $\phi$ 是归一化平均相互作用势能，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 的替换对 KLC 二次势具有对称性。它们的约束化简为 $\boldsymbol{\alpha}^2=\boldsymbol{\beta}^2=1$，且在能量固定的相空间均匀分布下，它们在单位球面上均匀且独立地分布。