$\phi^4$ 理论中至 7 圈及更高级的纽结与数字

我们评估了所有对 $\phi^4$ 理论的 7 圈 $\beta$ 函数有贡献的原始发散，即所有 59 个没有子发散因此给出与方案无关贡献的图。在图的纽结关联的指导下，我们获得了 56 个图的解析结果。其余三个与纽结 $10_{124}$, $10_{139}$ 和 $10_{152}$ 相关的图，以 10 位有效数字进行了数值评估。只遇到了一个具有 11 个交叉的卫星纽结，并找到了与之相关的超越数。因此，我们获得了 6 圈贡献的解析结果，以及在 7 圈时精确到 $10^{11}$ 分之一精度的数值结果。先前已知的 $n=3,4,5,6$ 圈的“之字形”抵消项序列 $\{6\zeta_3,\,20\zeta_5,\, \frac{441}{8}\zeta_7,\,168\zeta_9,\,\ldots\}$，被评估到 10 圈，对应于 17 个交叉，揭示了 $n$ 圈之字形项为 $4C_{n-1} \sum_{p>0}\frac{(-1)^{p n - n}}{p^{2n-3}}$，其中 $C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 是纽结理论中熟悉的加泰罗尼亚数。这里报告的调查需要密集使用 REDUCE 来生成 ${\rm O}(10^4)$ 行代码，用于多精度 FORTRAN 计算，由 Bailey 的 MPFUN 例程支持，在 DecAlpha 机器上运行了 ${\rm O}(10^3)$ CPU 小时。