圆群上的KMS条件、标准实子空间与反射正性

在本文中，我们通过研究加法群$(R,+)$上满足恰当定义的KMS条件的正定函数$\psi$，继续我们对反射正性的表示理论侧面的探索。这些函数取值于实向量空间$V$上的双线性形式空间${\rm Bil}(V)$。如同在量子统计力学中那样，KMS条件是通过$\psi$到条带${ z \in C\: 0 \leq Im z \leq b}$的解析延拓来定义的，并在边界上带有一个耦合条件$\psi (ib + t) = \oline{\psi (t)}$。我们的第一个主要结果在于用模对象$(\Delta, J)$（$J$为反线性对合，$\Delta > 0$自伴且满足$J\Delta J = \Delta^{-1}$）和一个积分表示来刻画这些函数。我们的第二个主要结果是：在群$R_\tau = R \rtimes {\id_\R,\tau}$（其中$\tau(t) = -t$）上存在取值于${\rm Bil}(V)$的正定函数$f$，满足对$t \in R$有$f(t,\tau) = \psi(it)$。因此我们获得了GNS空间$H_f$上的一个$2b$周期酉单参数群，而其上的GNS空间$H_\psi$中的单参数群由Osterwalder--Schrader量化得到。最后，我们证明这些表示的构造块源自于圆$R/bZ$（长度为$b$）上对应于核1/(\lambda^2 - (d^2)/(dt^2})的丛值Sobolev空间。