非恒定标量曲率背景下的 Klein-Gordon 与 Dirac 粒子

我们在半无限实验室（$x > 0$）中考虑了 Klein-Gordon 方程和 Dirac 方程，背景度规分别为 $ds^2 =u^2(x) \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ 和 $ds^2=-dt^2+u^2(x)\eta_{ij}dx^i dx^j$，其中 $u(x)=e^{\pm gx}$。这些度规具有非恒定的标量曲率。我们研究了各种解的性质。对于 $u(x)=e^{gx}$ 的第一种度规，谱是离散的，自旋为 0 粒子的基态能量为 $E^2_{min}=p^2c^2 + g^2c^2\hbar^2$。对于 $u(x)=e^{-gx}$，谱被发现是连续的。对于 $u(x)=e^{-gx}$ 的第二种度规，每个粒子根据其横向动量，可以具有连续谱或离散谱。对于 Klein-Gordon 粒子，该阈值横向动量为 $\sqrt{3}g/2$，而对于 Dirac 粒子则为 $g/2$。对于 $u(x)=e^{gx}$ 的情况不存在解。我们还讨论了这些度规的一些几何性质。