具有长程相互作用的一维投票模型的动力学

本文解析研究了一维长程投票模型，其中个体以正比于$r^{-\alpha}$的概率采纳距离为$r$的另一个体的意见。该模型随$\alpha$变化展现出丰富多样的特征。对于$\alpha >3$，其行为类似于最近邻版本，有序畴形成且其典型尺寸增长为$R(t)\propto t^{1/2}$，直至达到共识（完全有序构型）。距离为$r$的两个个体间的关联函数$C(r,t)$服从动力学标度，在远距离$r>r^*(t)$处存在显著修正，并随时间缓慢消退。对于$2< \alpha \le 3$，由于同时出现两个长度尺度——按$t^{(\alpha-2)/(\alpha-1)}$增长的畴尺寸，以及关联延伸的距离$L(t)\propto t^{1/(\alpha-1)}$——标度律出现违背。对于$\alpha \le 2$，系统达到部分有序稳态，其特征是代数关联函数（$C(r)\propto r^{-(2-\alpha)}$），其寿命在无限多个体的热力学极限下发散，因此无法达到共识。在有限系统中，向完全有序构型的逃逸最终由大距离关联的发展所促成。在具有$N$个格点的系统中，全局共识的实现时间为：$\alpha>3$时$T \propto N^2$，$2<\alpha \le 3$时$T \propto N^{\alpha-1}$，$\alpha \le 2$时$T \propto N$。