Kato-Milne 上同调与多项式形式

给定素数 $p$、满足 $\operatorname{char}(F)=p$ 的域 $F$ 以及正整数 $n$，我们研究可分解微分形式的 Kato-Milne 类的保类修正。这些修正展示了微分形式与 $p$-正则形式之间的自然联系。一个 $p$-正则形式被定义为次数 $p$ 的齐次多项式形式，使得不存在所有阶 $p-1$ 偏导数同时消失的非零点。我们定义 $\widetilde C_{p,m}$ 域为这样的域：在其上维数大于 $p^m$ 的每个 $p$-正则形式都是各向同性的。主要结果是：对于 $\widetilde C_{p,m}$ 域 $F$，$H_p^2(F)$ 的符号长度上界为 $p^{m-1}-1$，并且对于任意 $n \geq \lceil (m-1) \log_2(p) \rceil+1$，有 $H_p^{n+1}(F)=0$。