$k$-PCA 对 (非平方) 欧几里得距离的多项式时间逼近

给定整数 $k\geq1$ 和集合 $P$ 中的 $n$ 个 $\REAL^d$ 空间中的点，经典 $k$-PCA（主成分分析）对 $P$ 的仿射 $k$ 子空间均值进行近似计算，即最小化其在 $P$ 各点上 $\ell_{2,2}$-范数（平方欧几里得距离）之和的仿射 $k$ 维线性子空间，即这些距离的均值。$k$ 子空间中位数是使其在 (非平方) 欧几里得距离（$\ell_{2,1}$-混合范数）之和最小的子空间，即这些距离的中位数。由于中位数子空间在噪声/离群值方面通常更稀疏且更鲁棍，但与 $\ell_{z,z}$（非混合）范数不同，当 $k<d-1$ 时其非凸，故近似计算难度更大。我们提供了第一个在 $k$ 上非指数级运行时间和逼近因子均为多项式时间的确定性算法。更准确地说，乘法逼近因子为 $\sqrt{d}$，运行时间为输入规模的多项式时间。我们期望该技术对许多其他相关问题也有用，例如 $z\not \in \br{1,2}$ 时的距离 $l_{2,z}$ 范数，如 $z=\infty$，以及处理离群值/稀疏性问题。也提供了开源代码及真实数据集上的实验结果。