有限次对角代数中的 Jensen 不等式

设 $\mathscr{M}$ 为具有忠实正规迹态 $\tau$ 的有限 von Neumann 代数，$\mathfrak{A}$ 为 $\mathscr{M}$ 中关于 $\mathscr{M}$ 上保持 $\tau$ 的忠实正规条件期望 $\Phi$ 的有限次对角子代数。令 $\Delta$ 表示对应于 $\tau$ 的 Fuglede-Kadison 行列式。对 $X \in \mathscr{M}$，定义 $|X| := (X^*X)^{\frac{1}{2}}$。2005 年，Labuschagne 证明了所谓有限次对角代数的 Jensen 不等式，即对任意算子 $A \in \mathfrak{A}$ 有 $\Delta(\Phi(A)) \le \Delta(A)$，从而解决了 Arveson 于 1967 年提出的一个长期未决的开问题。在本文中，我们证明如下更一般的结果：对 $A \in \mathfrak{A}$ 及任意满足 $f \circ \exp$ 在 $\mathbb{R}$ 上凸的递增连续函数 $f : [0, \infty) \to \mathbb{R}$，有 $\tau(f( |\Phi(A)|)) \le \tau(f( |A|))$。在附加假设 $A$ 在 $\mathscr{M}$ 中可逆且 $f \circ \exp$ 严格凸的条件下，我们有 $\tau(f( |\Phi(A)|)) = \tau(f( |A|))$ $\Longleftrightarrow \Phi(A) = A$。作为一个应用，我们证明对 $A \in \mathfrak{A}$，$A$ 的点谱包含于 $\Phi(A)$ 的点谱中，尽管此结论一般对其谱并不成立。