James 约化积概形与双拟对称函数

对称函数理论是 Grassmann 流形 Schubert 微积分的关键要素。拟对称函数是其类似物，在代数组合学中同样居于核心，但其相关几何发展薄弱。Baker 与 Richter（2008）表明 $\textrm{QSym}$ 作为无限射影空间环路悬垂的上同调环，或等价地作为其组合同伦模型 James 约化积 $J\mathbb{C}\mathbb{P}^\infty$ 的上同调环拓扑呈现。在近期工作中，我们利用该视角发展了 $\textrm{QSym}$ 的拓扑驱动基，并启动了 $J\mathbb{C}\mathbb{P}^\infty$ 在上同调与 $K$-理论中的 Schubert 微积分。此处，我们研究 $J\mathbb{C}\mathbb{P}^\infty$ 的环面等变上同调。我们确定了一个胞腔基并引入双单项拟对称函数作为组合代表，类比于经典 Schubert 微积分中的阶乘 Schur 函数与双 Schubert 多项式。我们还给出了该基结构系数的组合 Littlewood--Richardson 法则。此外，我们引入了 James 约化积构造的代数几何类比。特别地，我们证明复射影簇的 James 约化积也承载射影簇的结构。