与 $\mathcal{PT}$ 对称 $(-x^{4}) $ 理论不同复围道相关的同构 Hilbert 空间

在这项工作中，我们强调了存在将复平面下半部分的围道映射到上半部分围道的同构。度量算子被发现依赖于所选围道，但连接不同围道的映射保持范数不变。为了阐明这些特征，我们对 Phys.Rev.D73:085002 (2006) 中研究负号 $x^{4}$ 理论时考虑的围道 $z=-2i\sqrt{1+ix}$ 进行了参数化。对于形式为 $z=a\sqrt{b+i c x}$ 的参数化围道，我们发现只要 $a^{2} c$ 取为实数，就存在一个等价的厄米哈密顿量。该等价哈密顿量与 $b$ 无关，但度量算子被发现依赖于所有参数 $a$、$b$ 和 $c$。这些参数的不同取值生成不同的度量算子，从而定义不同的 Hilbert 空间。即使对于定义端点位于两个相邻楔形区域的围道的参数值，所有这些 Hilbert 空间也是相互同构的。作为一个例子，我们展示了与围道 $z=-2i\sqrt{1+ix}$ 相关的跃迁振幅与使用围道 $z=\sqrt{1+ix}$ 计算的结果完全相同，后者不具有 $\mathcal{PT}$ 对称性且其端点位于复平面中两个相邻的楔形区域。