广义 associahedra 的等距类

设 $(W,S)$ 为作用于具有相同长度的单根 $\Delta=\{\alpha_s | s\in S\}$ 和权 $\Delta^*=\{v_s | s\in S\}$ 的 $\mathbb R$-欧几里得空间上的有限 Coxeter 系统，且作用方式为反射。令 $M(e)=\sum_{s\in S}\kappa_s v_s$，其中 $\kappa_s>0$，且对任意 $w\in W$，定义 $M(w)=w(M(e))$。置换多面体 $Perm(W)$ 是集合 $\{M(w) | w\in W\}$ 的凸包。给定 Coxeter 元素 $c\in W$，我们在先前的工作中定义了一个广义 associahedron $Asso_c(W)$，其法向扇形为 N. Reading 定义的相应 $c$-Cambrian 扇形 $F_c$。根据构造，$Asso_c(W)$ 是通过根据 $c$ 规定的规则从 $Perm(W)$ 中移除某些半空间而得到的。在本文中，我们对这些实现的等距类进行了分类。更确切地说，对于 $(W,S)$ 为不可约有限 Coxeter 系统，且 $c,c'$ 为 $W$ 中的两个 Coxeter 元素，$Asso_{c}(W)$ 与 $Asso_{c'}(W)$ 等距当且仅当 $\mu(c') = c$ 或 $\mu(c')=w_0c^{-1}w_0$，其中 $\mu$ 是 $W$ 的 Coxeter 图的自同构，且满足对所有 $s\in S$ 有 $\kappa_s=\kappa_{\mu(s)}$。作为副产品，我们分类了 $W$ 的等距 Cambrian 扇形。