对称群的不可约特征标与 Kostka 矩阵

在早前论文 [1] 中已表明，对称群的 Frobenius 复合特征标与不可约特征标通过一种线性关系相关联，该关系涉及一个单位三角耦合矩阵，其以不可约特征标的线性组合给出 Frobenius 特征标。由于我们有 Frobenius 特征标的公式并希望得到不可约特征标的值，反转这一关系是可取的。该反演是直接的，并给出不可约特征标以及耦合矩阵，后者恰为原方向的 Kostka 矩阵。我们表明，若应用 Frobenius 单项恒等式的一种修正，即方程（22），会产生一个单项公式，可在不涉及任一类特征标的情况下给出 Kostka 矩阵的逆。然而，对阶数即便中等的对称群执行此过程也是一项艰巨任务。作为替代，通过单位三角耦合矩阵进行反演可同时给出 Kostka 矩阵与不可约特征标，且比单项方法所需努力少得多。此外还有一个意外。