不变均值与均值型映射的迭代

经典结论表明，对于两个连续且严格的均值 $M,\,N \colon I^2 \to I$（$I$ 为一区间），存在唯一的 $(M,N)$-不变均值 $K \colon I^2 \to I$，即满足 $K \circ (M,N)=K$，并且迭代序列 $((M,N)^n)_{n=1}^\infty$ 逐点收敛于 $(K,K)$。近来已证明连续性假设一般不可省略。我们证明若 $K$ 是唯一的 $(M,N)$-不变均值，则在无连续性假设下仍有 $(M,N)^n \to (K,K)$。