基于 Scott 闭集格的有向完备偏序集的忠实性

根据 Thron 的结论，拓扑空间 $X$ 满足“$C(X)$ 同构于 $C(Y)$ 蕴含 $X$ 同胚于 $Y$”当且仅当 $X$ 是 sober 且 $T_D$ 的，其中 $C(X)$ 和 $C(Y)$ 分别表示 $X$ 和 $T_0$ 空间 $Y$ 的闭集格。当我们考虑配备了 Scott 拓扑的 dcpos（有向完备偏序集）时，产生了一个类似的问题：哪些 dcpos $P$ 满足对于任意 dcpo $Q$，$C_\sigma(P)$ 同构于 $C_\sigma(Q)$ 蕴含 $P$ 同构于 $Q$（这样的 dcpo $P$ 被称为 Scott 闭集格忠实的，简称 SCL-faithful）？这里 $C_{\sigma}(P)$ 和 $C_{\sigma}(Q)$ 分别表示 $P$ 和 $Q$ 的 Scott 闭集格。根据连续（拟连续）dcpos 关于 $C_{\sigma}(P)$ 的一个刻画，可以容易地推导出每个连续（拟连续）dcpo 都是 SCL-faithful 的。注意，每个连续（拟连续）dcpo 的 Scott 空间都是 sober 的。与 Thron 的结果相比，人们自然会问是否每个 SCL-faithful 的 dcpo（在 Scott 拓扑下）都是 sober 的。在本文中，我们将证明某些类别的 dcpos 是 SCL-faithful 的，这些类别中包含一些 Scott 拓扑不是有界 sober 的 dcpos。这些结果将有助于在未来获得 SCL-faithful dcpos 的完整刻画。