积分曲率：从 Umlaufsatz 到 J⁺ 不变量
几何拓扑
2013-09-05 v1 微分几何
摘要
Hopf 的 Umlaufsatz 将闭合浸入平面曲线的总曲率与其旋转数联系起来。曲线的曲率在局部形变下会改变，但其沿闭合曲线的积分在正则同伦下是不变的。一个自然的问题是，能否在曲线上找到一些非平凡的密度，使得相应的积分（可能在经过某些修正后）在一般浸入类的正则同伦下也保持不变。我们利用点相对于曲线的指标构造了一族这样的密度。该族依赖于一个形式参数 q，并可视为总曲率的一种量子化。其在 q=1 处的泰勒展开中的线性项，在归一化后与 Arnold 的 J⁺ 不变量一致。这导出了 J⁺ 的一个积分表达式。
引用
@article{arxiv.1108.4288,
title = {Integrating curvature: from Umlaufsatz to J^+ invariant},
author = {Sergei Lanzat and Michael Polyak},
journal= {arXiv preprint arXiv:1108.4288},
year = {2013}
}
备注
6 pages, 5 figures