球面上齐次准磁流的可积性

我们考察在 $\mathbb{R}^n$ 中处于恒定齐次磁场中的物质点的运动，以及限制在球面 $S^{n-1}$ 上的运动。虽然在 $\mathbb{R}^n$ 中磁系统显而易见的可积性，但限制在球面 $S^{n-1}$ 上的系统则高度非平凡。我们证明了对于 $n \leq 6$ 的受限磁系统具有完全可积性。对于 $n=5$ 和 $n=6$ 的球面上的磁流，其动力学积分（first integrals）在动量中为次数为 $1$、$2$ 和 $3$ 的多项式。我们证明了对于任意 $n \geq 7$ 的受限磁流在允许简化至 $n \leq 6$ 情形的情况下具有非交换可积性。我们推测，$S^{n-1}$ 上的受限磁系统对所有 $n$ 都是可积的。