基于四元数傅里叶变换的复信号瞬时频率与幅值

对于实值采样信号，基于具有单边傅里叶变换的解析信号（一种复信号），其瞬时幅值和相位的概念已得到充分理解。我们将这些概念推广至复值采样信号，利用从单边四元数傅里叶变换获得的解析信号的四元数等价物，我们将其称为复信号的超复表示。我们提出了四元数傅里叶变换的必要性质，特别是其在频域中的对称性，以及卷积公式和希尔伯特变换的四元数傅里叶变换公式。超复表示可解释为一对有序复信号或一个四元数信号。我们讨论了其推导过程和性质，并表明其四元数傅里叶变换是单边的。我们展示了如何从超复表示中导出复包络和相位。在实信号情形下的一个经典结果是：只要调制信号的频率内容与载波不重叠，就可以利用解析信号将调幅信号分解为其包络和载波。我们表明，只要复信号调制一个正交复指数，这一思想便可推广至复数情形。正交复调制在数学上可由作者先前推导出的四元数极坐标表示来描述。与经典情形一样，调制复信号与正交复指数之间的频率内容也存在不重叠的限制。我们表明，在这些条件下，时域中的调制等价于四元数傅里叶域中的频移。文中给出了示例以演示这些概念。