无限维压缩感知与函数插值

我们引入并分析了利用压缩感知进行函数插值的框架。该框架——基于加权 $\ell^1$ 最小化——在其实现或理论保证中均不需要对展开尾部给出先验界，并且在无噪声时产生真正的插值逼近。我们还基于此框架建立了一种针对加权 $\ell^1$ 最小化的压缩感知的新恢复保证。该保证具有若干关键优势。首先，与现有结果不同，它对大类函数（无论权重如何选择）都是尖锐的（相差常数与对数因子）。其次，通过考察恢复保证中的测量条件，我们能够提出一种选择权重的良好整体策略。特别地，当应用于正交多项式多元逼近这一重要情形时，只要显著系数的支撑集是所谓的下集（lower set），该加权策略就能在所需测量次数上得到可证明的最优估计。最后，该保证还可用于从理论上确认另一种加权策略的益处，其中权重是基于先验支撑信息选取的。这为近期若干展示此类方法有效性的数值研究提供了理论基础。