局部紧群及其闭子群上 Young 卷积不等式最优常数的不等式

我们定义局部紧群 $G$ 上 Young 卷积不等式的最优常数 $Y ( p_1 , p_2 ; G )$ 为 \begin{align} Y ( p_1 , p_2 ; G ) := \sup \{ \| \phi_1 * ( \phi_2 \Delta^{1 / p_1'} ) \|_p \mid \phi_1 , \phi_2 \colon G \to \mathbb{C} , \; \| \phi_1 \|_{p_1} = \| \phi_2 \|_{p_2} = 1 \} \end{align}，其中 $1 \leq p_1 , p_2 , p \leq \infty$ 且 $1 / p_1 + 1 / p_2 = 1 + 1 / p$。此处 $p'$ 为 $p$ 的 Hölder 共轭，$\| \cdot \|_{ p }$ 为左 Haar 测度上的 $L^p$-范数，$\Delta \colon G \to \mathbb{R}_{> 0}$ 为模函数。本文的主要结果是：对任意闭子群 $H \subset G$，有 $Y ( p_1 , p_2 ; G ) \leq Y ( p_1 , p_2 ; H )$。由该不等式可得，对任意连通 Lie 群 $G$，只要其半单部分的中心为有限群（如连通线性 Lie 群与连通可解 Lie 群），有 $Y ( p_1 , p_2 ; G ) \leq Y ( p_1 , p_2 ; \mathbb{R} )^{ \dim G - r ( G ) }$，其中 $r ( G )$ 为 $G$ 的极大紧子群的维数。