具有凹值函数的双人双值博弈均衡的不存在性

我们考虑双人、双值最小化博弈，其中参与者的代价取两个值 $a,b$，$a<b$。参与者采用混合策略，其代价由单峰估值函数评估。这一类广泛的估值函数包含所有凹的单参数函数 $\mathsf{F}: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$，且具有唯一最大值点。我们的主要结果是一个不可能性结果，表述为：若最大值在 $(0,1)$ 内取得且 $\mathsf{F}\left(\frac{1}{2}\right)\ne b$，则存在一个无 $\mathsf{F}$-均衡的双人双值博弈。用于该不可能性结果的反例博弈属于我们称之为正规博弈的一类新的极稀疏双人双值双矩阵博弈。为尝试研究剩余情形 $\mathsf{F}\left(\frac{1}{2}\right) = b$，我们证明：- 每个正规、$n$-策略博弈在 ${\mathsf{F}}\left( \frac{1}{2} \right) = b$ 时具有一个 ${\mathsf{F}}$-均衡。我们给出了一个用于计算此类均衡的线性时间算法。- 对于具有 3 个策略的双人双值博弈，我们有：若 $\mathsf{F}\left(\frac{1}{2}\right) \le b$，则每个双人双值、3-策略博弈具有一个 $\mathsf{F}$-均衡；若 $\mathsf{F}\left(\frac{1}{2}\right) > b$，则存在一个无 $\mathsf{F}$-均衡的正规双人双值、3-策略博弈。据我们所知，本工作是首个针对给定凹函数 $\mathsf{F}$ 是否存在无 $\mathsf{F}$-均衡的反例博弈提供（近乎完整的）解答的研究。