(r,l)-图上参数化高于下界的签名最大割的改进核

若每条边被赋予 $+$ 或 $-$，则图 $G$ 是签名的。若存在顶点集的二划分使得边为负当且仅当其端点位于不同部分，则签名图是平衡的。Edwards-Erd\"os 界指出，每个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图都有一个平衡子图，其至少包含 $\frac{m}{2}+\frac{n-1}{4}$ 条边。在签名最大割高于紧下界（Signed Max Cut ATLB）问题中，给定签名图 $G$ 和参数 $k$，问题是 $G$ 是否具有至少 $\frac{m}{2}+\frac{n-1}{4}+\frac{k}{4}$ 条边的平衡子图。该问题推广了最大割高于紧下界问题，Crowston 等人 [ICALP 2012, Algorithmica 2015] 给出了具有 $O(k^5)$ 个顶点的核。Crowston 等人 [TCS 2013] 通过为更一般的 Signed Max Cut ATLB 问题提供具有 $O(k^3)$ 个顶点的核改进了该结果。本文感兴趣于在问题仍难的受限图类上改进 Signed Max Cut ATLB 的核大小。对于两个整数 $r,\ell \geq 0$，若 $V(G)$ 可划分为 $r$ 个独立集和 $\ell$ 个团，则图 $G$ 是 $(r,\ell)$-图。基于 Crowston 等人 [TCS 2013] 的技术，我们对任意固定的 $r,\ell \geq 0$ 在 $(r,\ell)$-图上提供具有 $O(k^2)$ 个顶点的核，并在分裂图的子类上提供简单的线性核，我们证明了对于这些子类该问题仍是 NP-hard 的。