树中 MIS 与有界（出）度支配集的改进分布式下界

近来，Balliu、Brandt 和 Olivetti [FOCS '20] 给出了树中极大独立集（MIS）问题的首个 $\omega(\log^* n)$ 下界。本文中我们证明了一类更宽松的分布式破对称问题的下界。作为副产品，我们获得了树中分布式 MIS 问题的改进下界。对于参数 $k$ 和图 $G$ 的边的一种定向，若 $G$ 的节点子集 $S$ 是 $G$ 的支配集且在诱导子图 $G[S]$ 中 $S$ 中每个节点的出度至多为 $k$，则称 $S$ 为 $k$-出度支配集。注意当 $k=0$ 时，该定义与 MIS 的定义一致。对于给定的 $k$，我们考虑计算 $k$-出度支配集的问题。我们证明，即便在度至多为 $\Delta$ 的正则树中，在标准 \LOCAL 模型下，存在常数 $\epsilon>0$ 使得对 $k\leq \Delta^\epsilon$，计算 $k$-出度支配集问题，任何随机算法至少需要 $\Omega(\min\{\log\Delta,\sqrt{\log\log n}\})$ 轮，任何确定性算法至少需要 $\Omega(\min\{\log\Delta,\sqrt{\log n}\})$ 轮。我们下界的证明基于近来极为成功的轮消除技术。我们提供了一种进行轮消除简化的新方法，预期其具有独立意义。我们的新证明比 [FOCS '20] 中的下界证明显著更简单。特别地，我们的轮消除证明使用了一族仅能用常数个标签描述的问题。对 MIS 问题存在此类证明曾被 [FOCS '20] 的作者认为不可能。