基于 Gallai-Edmonds 分解的 EDCS 改进分析

在本注记中,我们重新审视 Bernstein 和 Stein (ICALP'15) 提出的边度约束子图(EDCS)。EDCS 是一种满足简单边度约束的稀疏子图,保证包含基图的(近似)$\frac{2}{3}$ 匹配。自提出以来,EDCS 已成功应用于众多计算模型。受此成功启发,我们重新审视 EDCS 并给出其在一般图中关键性质的改进界。我们的主要结果是对 EDCS 近似保证的新证明,该证明基于图的 Gallai-Edmonds 分解,避免了先前证明中的概率方法。因此,我们得到:为获得 $(\frac{2}{3} - \epsilon)$ 近似,一个最大度限于 $O(1/\epsilon)$ 的稀疏 EDCS 已足够。这改进了 Assadi 和 Bernstein (SOSA'19) 的 $O(\log(1/\epsilon)/\epsilon^2)$ 界以及 Bernstein 和 Stein (SODA'16) 的 $O(1/\epsilon^3)$ 界。我们的保证基本匹配此前仅对二部图已知的结论,从而消除了我们对一般图与二部图中 EDCS 理解上的差距。